- Sist oppdatert
- Lagre som PDF
- Side-ID
- 70192
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}\) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\ norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\ mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}\)
Mål
- Forstå definisjonen av en basis for et underrom.
- Forstå basisteoremet.
- Oppskrifter:grunnlag for et kolonnerom, grunnlag for et nullrom, grunnlag for et spenn.
- Bilde:grunnlag av et underrom av \(\mathbb{R}^2 \) eller \(\mathbb{R}^3 \).
- Teorem:basisteorem.
- Viktige ordforråd: basis,dimensjon.
Grunnlaget for et underrom
Som vi diskuterte iAvsnitt 2.6, er et underrom det samme som et spenn, bortsett fra at vi ikke har et sett med spennvektorer i tankene. Det er uendelig mange valg av spennsett for et underrom som ikke er null; for å unngå redundans er det vanligvis mest praktisk å velge et spennsett medminimalantall vektorer i den. Dette er tanken bak forestillingen om et grunnlag.
Definisjon \(\PageIndex{1}\): Grunnlag
La \(V\) være et underrom av \(\mathbb{R}^n \). ENbasis av \(V\) er et sett med vektorer \(\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\) i \(V\) slik at:
- \(V = \text{Span}\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\text{,}\) og
- settet \(\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\) er lineært uavhengig.
Husk at et sett med vektorer erlineært uavhengighvis og bare hvis, når du fjerner en vektor fra settet, krymper spennet (Teorem 2.5.1iAvsnitt 2.5). Med andre ord, hvis \(\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\) er en basis for et underrom \(V\text{,}\) så ingen riktig delmengde av \(\{v_1,v_2, \ldots,v_m\}\) vil spenne over \(V\text{:}\) det er enminimalspenner sett. Ethvert underrom innrømmer et grunnlag vedTeorem 2.6.1iAvsnitt 2.6.
Merk \(\PageIndex{1}\)
Et subrom som ikke er null haruendelig mangeforskjellige baser, men de inneholder alle like mange vektorer.
Vi lar det være en øvelse for å bevise at alle to baser har samme antall vektorer; det kan være lurt å vente til etter å ha lært det invertible matriseteoremet iAvsnitt 3.5.
Eksempel \(\PageIndex{1}\): Et grunnlag for \(\mathbb{R}^2\)
Finn et grunnlag for \(\mathbb{R}^2 \).
Løsning
Vi må finne to vektorer i \(\mathbb{R}^2 \) som spenner over \(\mathbb{R}^2 \) og er lineært uavhengige. Et slikt grunnlag er \(\bigl\{{1\velg 0},{0\velg 1}\bigr\}\tekst{:}\)
- De spenner fordi enhver vektor \(a\velg b\) kan skrives som en lineær kombinasjon av \({1\velg 0},{0\velg 1}\tekst{:}\)
\[\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right) +b\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right).\nonummer\] - De er lineært uavhengige: if
\[x\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right )=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\ ikke-nummer\]
deretter \(x=y=0\).
Dette viser at planet \(\mathbb{R}^2 \) har dimensjon 2.
Figur \(\PageIndex{1}\)
Eksempel \(\PageIndex{2}\): Alle baser av \(\mathbb{R}^2 \)
Finn alle basene til \(\mathbb{R}^2 \).
Løsning
Vi vet fra forrige eksempel \(\PageIndex{1}\)at \(\mathbb{R}^2 \) har dimensjon 2, så ethvert grunnlag for \(\mathbb{R}^2 \) har to vektorer i den. La \(v_1,v_2\) være vektorer i \(\mathbb{R}^2 \text{,}\) og la \(A\) være matrisen med kolonner \(v_1,v_2\).
- Å si at \(\{v_1,v_2\}\) spenner over \(\mathbb{R}^2 \) betyr at \(A\) har en pivot,Definisjon 1.2.5iAvsnitt 1.2,i hverrad: seTeorem 2.3.1iAvsnitt 2.3.
- Å si at \(\{v_1,v_2\}\) er lineært uavhengig betyr at \(A\) har en pivot i hverkolonne: se Oppskrift: Sjekke lineær uavhengighet innAvsnitt 2.5.
Siden \(A\) er en \(2\ ganger 2\) matrise, har den en pivot i hver rad nøyaktig når den har en pivot i hver kolonne. Derfor danner to ikke-kollineære vektorer en basis for \(\mathbb{R}^2 \). For eksempel,
\[\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}1\\1\end{ array}\right)\right\}\nonummer\]
er et grunnlag.
Figur \(\PageIndex{2}\)
Eksempel \(\PageIndex{3}\): Standardgrunnlaget for \(\mathbb{R}^n \)
Man viser nøyaktig som i eksemplet ovenfor \(\PageIndex{1}\)at standardkoordinatvektorene
\[e_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\ \vdots \\ 0\\0\end{array}\right),\quad e_2=\left(\begin{array} {c}0\\1\\ \vdots \\ 0\\0\end{array}\right),\quad\cdots,\quad e_{n-1}=\left(\begin{array}{c }0\\0\\ \vdots \\1\\0\end{array}\right),\quad e_n=\left(\begin{array}{c}0\\0\\ \vdots \\0 \\1\end{array}\right)\nonummer\]
danne grunnlag for \(\mathbb{R}^n \). Dette er noen ganger kjent somstandard basis.
Spesielt har \(\mathbb{R}^n \) dimensjon \(n\).
Eksempel \(\PageIndex{4}\)
Det forrige eksemplet \(\PageIndex{3}\) antyder at ethvert grunnlag for \(\mathbb{R}^n \) har \(n\) vektorer i seg. La \(v_1,v_2,\ldots,v_n\) være vektorer i \(\mathbb{R}^n \text{,}\) og la \(A\) være \(n\ ganger n\) matrisen med kolonner \(v_1,v_2,\ldots,v_n\).
- Å si at \(\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\) spenner over \(\mathbb{R}^n \) betyr at \(A\) har en pivotposisjon,Definisjon 1.2.5iAvsnitt 1.2, i hverrad: se detteTeorem 2.3.1iAvsnitt 2.3.
- Å si at \(\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\) er lineært uavhengig betyr at \(A\) har en pivotposisjon i hverkolonne: se Oppskrift: Sjekke lineær uavhengighet innAvsnitt 2.5.
Siden \(A\) er en kvadratisk matrise, har den en pivot i hver rad hvis og bare hvis den har en pivot i hver kolonne. Vi får se innAvsnitt 3.5at de to ovennevnte betingelsene tilsvarerinverterbarhetav matrisen \(A\).
Eksempel \(\PageIndex{5}\)
La
\[V=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\text{ in }\mathbb{R}^{3}|x +3y+z=0\right\}\quad\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{c}-3\\1\\0\end{array}\right), \:\left(\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right)\right\}.\nonummer\]
Bekreft at \(V\) er et underrom, og vis direkte at \(\mathcal{B}\)er et grunnlag for \(V\).
Løsning
Først ser vi at \(V\) er løsningssettet til den hom*ogene ligningen \(x + 3y + z = 0\text{,}\) så det er et underrom: se denne merknaden iAvsnitt 2.6,Merknad 2.6.3. For å vise at \(\mathcal{B}\) er et grunnlag, må vi virkelig bekrefte tre ting:
- Begge vektorene er i \(V\) fordi
\[\begin{array}{rrrrrrl}(-3) &+& 3(1) &+& (0) &=& 0\\(0) &+& 3(1) &+& (-3) &=& 0.\end{array}\nonummer\] - Span:anta at \(\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\)er i \(V\). Siden \(x + 3y + z = 0\) har vi \(y = -\frac 13(x+z)\tekst{,}\) så
\[\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ {-\frac{1} {3}(x+z)} \\ z\end{array}\right)=-\frac{x}{3}\left(\begin{array}{c}-3\\1\\0\ end{array}\right)-\frac{z}{3}\left(\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right).\nonummer\]
Derfor spenner \(\mathcal{B}\) \(V\). - Lineært uavhengig:
\[c_1\left(\begin{array}{c}-3\\1\\0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\- 3\end{array}\right)=0\implies\left(\begin{array}{c}-3c_1 \\ c_1+c_2 \\ -3c_2\end{array}\right)=\left(\begin{ array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\impliserer c_1=c_2=0.\nonummer\]
Alternativt kan man observere at de to vektorene ikke er kollineære.
Siden \(V\) har en basis med to vektorer, har den dimensjon to: den er enflyet.
Dette eksemplet er noe konstruert, ved at vi skal lære systematiske metoder for å verifisere at en delmengde er et grunnlag. Hensikten er å illustrere de definerende egenskapene til et grunnlag.
Beregning av et grunnlag for et underrom
Nå viser vi hvordan du finner grunnlag for kolonnerommet til en matrise og nullrommet til en matrise. For å finne et grunnlag for et gitt underrom, er det vanligvis best å omskrive underrommet som et kolonnerom eller et nullrom først: se denne merknaden iAvsnitt 2.6,Merknad 2.6.3
Et grunnlag for kolonnerommet
Først viser vi hvordan man beregner et grunnlag for kolonnerommet til en matrise.
Merk \(\PageIndex{2}\)
Teoremet ovenfor refererer til pivotsøylene iopprinneligmatrise, ikke dens reduserte rad-echelonform. Faktisk har en matrise og dens reduserte rad echelonform generelt forskjellige kolonnerom. For eksempel, i matrisen \(A\) nedenfor:
Figur \(\PageIndex{4}\)
pivotkolonnene er de to første kolonnene, så grunnlaget for \(\text{Col}(A)\) er
\[\left\{\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\4\end{array}\right)\right\}.\nonummer\]
De to første kolonnene i formen for redusert rad spenner absolutt over et annet underrom, som
\[\tekst{Span}\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c }0\\1\\0\end{array}\right)\right\}=\left\{\left(\begin{array}{c}a\\b\\0\end{array}\right )|a,b\tekst{ i }\mathbb{R}\right\}=(x,y\tekst{-plan}),\nonummer\]
men \(\text{Col}(A)\) inneholder vektorer hvis siste koordinat er ikke null.
Følgende \(\PageIndex{1}\)
Dimensjonen til \(\tekst{Kol}(A)\) er antall pivoter til \(A\).
Grunnlaget for et spenn
Å beregne et grunnlag for et spenn er det samme som å beregne et grunnlag for et kolonnerom. Faktisk, spennvidden av endelig mange vektorer \(v_1,v_2,\ldots,v_m\)erkolonnerommet til en matrise, nemlig matrisen \(A\) hvis kolonner er \(v_1,v_2,\ldots,v_m\text{:}\)
\[A=\left(\begin{array}{cccc}|&|&\quad &| \\ v_1 &v_2 &\cdots &v_m \\ |&|&\quad &|\end{array}\right). \nonumber\]
Eksempel \(\PageIndex{6}\): Et grunnlag for et span
Finn et grunnlag for underrommet
\[V=\text{Span}\left\{\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right),\:\left(\begin{array }{c}2\\-3\\4\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right), \:\left(\begin{array}{c}-1\\5\\-2\end{array}\right)\right\}.\nonummer\]
Løsning
Underrommet \(V\) er kolonnerommet til matrisen
\[A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&0&-1 \\ -2&-3&4&5 \\ 2&4&0&-2\end{array}\right).\nonummer\]
Den reduserte radseksjonsformen til denne matrisen er
\[\left(\begin{array}{cccc}1&0&-8&-7 \\ 0&1&4&3 \\ 0&0&0&0\end{array}\right).\nonummer\]
De to første kolonnene er pivotkolonner, så et grunnlag for \(V\) er
\[\left\{\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\4\end{array}\right)\right\}.\nonummer\]
Eksempel \(\PageIndex{7}\): Et annet grunnlag for samme spenn
Finn et grunnlag for underrommet
\[V=\text{Span}\left\{\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right),\:\left(\begin{array }{c}2\\-3\\4\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right), \:\left(\begin{array}{c}-1\\5\\-2\end{array}\right)\right\}\nonummer\]
som ikke består av de to første vektorene, som i forrige eksempel \(\PageIndex{6}\).
Løsning
Poenget med dette eksemplet er at teorem \(\PageIndex{1}\) ovenfor girengrunnlag for \(V\tekst{;}\) som alltid er det uendelig mange flere.
Ved å omorganisere vektorene kan vi uttrykke \(V\) som kolonnerommet til
\[A'=\left(\begin{array}{cccc}0&-1&1&2 \\ 4&5&-2&-3 \\ 0&-2&2&4\end{array}\right).\nonummer\]
Den reduserte radseksjonsformen til denne matrisen er
\[\left(\begin{array}{cccc}1&0&3/4 &7/4 \\ 0&1&-1&-2 \\ 0&0&0&0\end{array}\right).\nonummer\]
De to første kolonnene er pivotkolonner, så et grunnlag for \(V\) er
\[\left\{\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\-2\end{array}\right)\right\}.\nonummer\]
Disse ersisteto vektorer i det gitte spennsettet.
Et grunnlag for nullrommet
For å beregne et grunnlag for nullrommet til en matrise, må man finne den parametriske vektorformen til løsningene til den hom*ogene ligningen \(Ax=0\).
Teorem \(\PageIndex{2}\)
Vektorene knyttet til de frie variablene i den parametriske vektorformen til løsningssettet til \(Ax=0\) danner et grunnlag for \(\text{Nul}(A)\).
Beviset for teoremet har to deler. Den første delen er at hver løsning ligger i spennet til de gitte vektorene. Dette er automatisk: vektorene er nøyaktig valgt slik at hver løsning er en lineær kombinasjon av disse vektorene. Den andre delen er at vektorene er lineært uavhengige. Denne delen ble diskutert iEksempel2.5.3iAvsnitt 2.5.
Et grunnlag for et generelt underrom
Som nevnt i begynnelsen av denne underseksjonen, når gitt et underrom skrevet i en annen form, for å beregne et grunnlag, er det vanligvis best å omskrive det som et kolonnerom eller nullrom i en matrise.
Eksempel \(\PageIndex{8}\): En basis for et underrom
La \(V\) være underrommet definert av
\[V=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)|x+2y=z\right\}.\nonummer\]
Finn et grunnlag for \(V\). Hva er \(\dim(V)\tekst{?}\)
Løsning
Først legger vi merke til at \(V\) er nøyaktig løsningssettet til den hom*ogene lineære ligningen \(x + 2y - z = 0\). Derav \(V = \text{Nul}\left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\end{array}\right).\) Denne matrisen er i form av redusert rad echelon; den parametriske formen til den generelle løsningen er \(x = -2y + z\tekst{,}\) så den parametriske vektorformen er
\[\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=y\left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\ end{array}\right)=z\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right).\nonummer\]
Det følger at et grunnlag er
\[\left\{\left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\1\end{array}\right)\right\}.\nonummer\]
Siden \(V\) har en basis med to vektorer, er dimensjonen \(2\tekst{:}\) den er et plan.
Grunnsetningen
Husk at \(\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\) danner grunnlag for \(\mathbb{R}^n \) hvis og bare hvis matrisen \(A\) med kolonner \(v_1, v_2,\ldots,v_n\) har en pivot i hver rad og kolonne (se dette eksemplet \(\PageIndex{4}\)). Siden \(A\) er en \(n\ ganger n\) matrise, er disse to betingelsene ekvivalente: vektorene spenner over hvis og bare hvis de er lineært uavhengige. Basisteoremet er en abstrakt versjon av den foregående setningen, som gjelder for ethvert underrom.
Teorem \(\PageIndex{3}\): Basisteorem
La \(V\) være et underrom av dimensjon \(m\). Deretter:
- Eventuelle \(m\) lineært uavhengige vektorer i \(V\) danner grunnlaget for \(V\).
- Eventuelle \(m\) vektorer som spenner over \(V\) danner et grunnlag for \(V\).
- Bevis
-
Anta at \(\mathcal{B}= \{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\) er et sett med lineært uavhengige vektorer i \(V\). For å vise at \(\mathcal{B}\) er et grunnlag for \(V\text{,}\) må vi bevise at \(V = \text{Span}\{v_1,v_2,\ldots, v_m\}.\) Hvis ikke, så finnes det en eller annen vektor \(v_{m+1}\) i \(V\) som ikke finnes i \(\text{Span}\{v_1,v_2,\ldots ,v_m\}.\) Etter det økende spennkriterietTeorem 2.5.2iAvsnitt 2.5, settet \(\{v_1,v_2,\ldots,v_m,v_{m+1}\}\) er også lineært uavhengig. Hvis vi fortsetter på denne måten, fortsetter vi å velge vektorer til vi til slu*tt har et lineært uavhengig spennsett: si \(V = \text{Span}\{v_1,v_2,\ldots,v_m,\ldots,v_{m+k} \}\). Da er \(\{v_1,v_2,\ldots,v_{m+k}\}\) et grunnlag for \(V\tekst{,}\) som innebærer at \(\dim(V) = m+k > m\). Men vi antok at \(V\) har dimensjon \(m\tekst{,}\) så \(\mathcal{B}\) må allerede ha vært et grunnlag.
Anta nå at \(\mathcal{B}= \{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\) spenner over \(V\). Hvis \(\mathcal{B}\) ikke er lineært uavhengig, så ved detteTeorem 2.5.1iAvsnitt 2.5, kan vi fjerne et visst antall vektorer fra \(\mathcal{B}\) uten å krympe spennvidden. Etter omorganisering kan vi anta at vi fjernet de siste \(k\) vektorene uten å krympe spennet, og at vi ikke kan fjerne flere. Nå \(V = \text{Span}\{v_1,v_2,\ldots,v_{m-k}\}\text{,}\) og \(\{v_1,v_2,\ldots,v_{m-k}\} \) er et grunnlag for \(V\) fordi det er lineært uavhengig. Dette innebærer at \(\dim V=m-k < m\). Men vi antok at \(\dim V = m\text{,}\) så \(\mathcal{B}\) må allerede ha vært et grunnlag.
Med andre ord, hvis dualleredevet at \(\dim V = m\text{,}\) og hvis du har et sett med \(m\) vektorer \(\mathcal{B}= \{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\ ) i \(V\text{,}\) så er det bare å sjekkeenav:
- \(\mathcal{B}\) er lineært uavhengig,eller
- \(\mathcal{B}\) spenner over \(V\text{,}\)
for at \(\mathcal{B}\) skal være et grunnlag for \(V\). Hvis du ikke allerede visste at \(\dim V = m\text{,}\) så må du sjekkebådeegenskaper.
For å si det på en annen måte, anta at vi har et sett med vektorer \(\mathcal{B}= \{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\) i et underrom \(V\). Så hvis to av følgende påstander er sanne, må den tredje også være sann:
- \(\mathcal{B}\) er lineært uavhengig,
- \(\mathcal{B}\) spenner over \(V\text{,}\) og
- \(\dim V = m.\)
For eksempel, hvis \(V\) er et plan, danner alle to ikke-kollineære vektorer i \(V\) en basis.
Eksempel \(\PageIndex{9}\): To ikke-kollineære vektorer danner grunnlaget for et plan
Finn et grunnlag for underrommet
\[V=\text{Span}\left\{\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right),\:\left(\begin{array }{c}2\\-3\\4\end{array}\right),\:\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array}\right), \:\left(\begin{array}{c}-1\\5\\-2\end{array}\right)\right\}\nonummer\]
som er forskjellig fra basene i dette eksemplet \(\PageIndex{6}\)og dette eksemplet \(\PageIndex{7}\).
Løsning
Vi vet fra de foregående eksemplene at \(\dim V = 2\). Ved teoremet \(\PageIndex{3}\), er det tilstrekkelig å finne to ikke-kollineære vektorer i \(V\). Vi skriver to lineære kombinasjoner av de fire gitte spennvektorene, valgt tilfeldig:
\[w_1=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\-3\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\-5\\6\end{array}\right)\quad w_2=-\left(\begin{array} {c}2\\-3\\4\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\4\\0\end{array }\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\5\\-4\end{array}\right).\nonummer\]
Siden \(w_1,w_2\) ikke er kollineære, er \(\mathcal{B}= \{w_1,w_2\}\) et grunnlag for \(V\).
Eksempel \(\PageIndex{10}\): Finne grunnlag ved inspeksjon
Finn et grunnlag for flyet
\[V=\left\{\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)|x_1 +x_2=x_3\right\}\nonummer\]
ved inspeksjon. (Dette planet er uttrykt i settbyggernotasjon,Merknad 2.2.3iAvsnitt 2.2.)
Løsning
Legg først merke til at \(V\) er nullrommet til matrisen \(\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\end{array}\right)\) denne matrisen er i redusert rad echelonform og har to frie variabler, så \(V\) er faktisk et plan. Vi skriver ned to vektorer som tilfredsstiller \(x_1 + x_2 = x_3\text{:}\)
\[v_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)\quad v_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\ \1\end{array}\right).\nonummer\]
Siden \(v_1\) og \(v_2\) ikke er kollineære, er de lineært uavhengige; siden \(\dim(V) = 2\tekst{,}\) antyder basisteoremet at \(\{v_1,v_2\}\) er et grunnlag for \(V\).
